Бим-Бад Борис Михайлович

Официальный сайт

Если свойства человека надлежащим образом развиты воспитанием, он действительно становится кротчайшим существом. Но если человек воспитан недостаточно или нехорошо, то это самое дикое существо, какое только рождает земля.

Платон

Арест, Михаил. Проблемы математического образования 21 века

Автор: Михаил Арест

Михаил Арест (MSC(математика); PhD (психология))
skype  arest.michael
 
Проблемы математического образования 21 века.
1.Эпохальный смысл математического образования.
В каждую эпоху перед математическим образованием ставятся задачи, которые отвечают потребностям этой эпохи. Традиционно математическое образование рассматривалось, как процесс обучения математике. Целевое назначение этого процесса состояло в передаче математического знания от одного поколения к другому.
Разумеется, всегда существовала связь между математическим образованием и развитием математического знания. В частности, предмет «математика» в школьном образовании рассматривался, как введение в современную математическую науку. Несмотря на такое содержательное назначение школьного предмета, содержание школьного курса всегда отставало от развития математической науки.
Такое отставание стало весьма заметным, когда развитие математического знания вывело его на качественно новый уровень – теоретико-множественный. Становление множественной математики неожиданно обнаружило серьезный кризис в фундаменте математического знания, который был сформирован парой (аксиоматический метод; формальная логика).
Содержательная основа такого кризиса состояла в том, что множественная математика показала ограниченность возможностей математического знания при изучении двух объектов: бесконечности и движения. Как тот, так и другой объекты связаны с диалектикой, но с ней не может быть связана формальная логика из-за принципа исключенного третьего.
Поэтому множественная математика стала таким логическим инструментом, который не вписывался в традиционные схемы построения математического знания.  Если полагать, что математика – это тот язык, с помощью которого общество «разговаривает» с окружающей природой, то оказывается, что указанный язык оказался ложным, поскольку природа разговаривает на языке диалектики.
Что это означало? Только то, что природа развивается по собственным внутренним законам диалектики, а общество пыталось понять законы развития природы с помощью формальной логики, которая несовместима с развитием природы. Но что особенно интересно: природное мышление личности развивается по тем же законам диалектики, а математическое образование развивало его на базе формальной логики. По сути дела, процесс обучения математике постепенно замещал природное мышление объектами формальной логики.
При таком подходе, математическое образование оказалось загнанным в угол. Стало понятно, что оно вооружает личность таким инструментом, который заведомо негоден при попытках познания окружающего мира. Получалось, что математическое образование работало не на процесс познания, а само на себя. В самом деле, логические инструменты, которые оно давало, порождали ужасные модели, связанные с отражением движения с помощью аналитических уравнений (дифференциальные, интегральные и так далее).
Пытаясь изучать сложные процессы исследователи получали все более сложные модели и потому математики переключились с процесса познания на исследование самих моделей. Именно на это и была употреблена множественная математика.
Сложилась следующая парадоксальная ситуация: математическое образование продолжало снабжать негодным логическим инструментом, а развитие математического знания происходило при разработке математического аппарата, который пытался раскрыть смысл полученных негодных математических моделей!
Понятно, что подлинный процесс познания оказался в стороне и общество продолжало жить в собственном отражении реального мира. Такое положение породило сразу 2 кризиса: кризис природного мышления и кризис окружающей среды. Самое интересное состоит в том, что общество не связывало оба эти кризиса с математическим образованием!
Появление в прошлом веке новой множественной математики  вызвало неоднозначное отношение к ней и об этом писал сам разработчик этой математики Г.Кантор.
Прежде чем перейти к реформе математического образования, совершенной в середине прошлого века, стоит представить отношение математиков к новой множественной математике.
2. Метафизическое понимание множественной математики.
Еще К. Маркс писал о том, что метафизик мыслит в бинарной черно-белой логике. Поскольку здание математики было построено в формальной логике, то и мышление было метафизическим. Именно с таких метафизических позиций и стала рассматриваться множественная математика.
В этой математике сами математики увидели возможность перенесения системы аксиом на произвольные множества. Первыми такими множествами оказались множества числовых функций. Они являлись инструментами описания процессов, в то время как сами процессы представлялись аналитическими уравнениями (дифференциальные, интегральные и так далее).
К сожалению, никто из математиков не увидел во множественной математике диалектический инструмент исследования. А между тем уже К. Маркс в своей книге «Математические рукописи» рассматривал дифференциальное и интегральное исчисления как диалектический аппарат представления механического движения – простейшего качественного изменения.
Известные парадоксы теории множеств не подсказали математикам, что перед ними мощный инструмент познания – диалектическая логика или логика развития. Впрочем, уже В.И.Ленин назвал синонимами три термина «диалектическая логика», «диалектика», «теория познания».
Таким образом общество пришло к тому инструменту, который адекватно природному мышлению представляет природные процессы. Поскольку мышление формировалось в рамках формальной логики, то такой подход никто не увидел. В математическом образовании продолжало господствовать количественное моделирование и числовая математика, которые были практически бесполезными логическими инструментами для таких областей, как психология, педагогика, социология.
Первым подошел к диалектическому пониманию математики в рамках множественной математики Т.Акбашев, который определил математику, как развивающуюся структуру отношений. Однако, сам Т.Акбашев не указал видовые формы этих отношений.
Что же не увидели математики за рамками формальной логики? Они не увидели, что в процессе познания содержание любого объекта представляется развивающейся структурой отношений. Именно это и составляет диалектику и именно это порождает единый системный подход к изучению всех объектов.
Оказалось, что именно математические отношения и показывают нам весь путь в развитии математического знания или математическое знание в филогенезе.
Возникает вопрос: как понимание развития математики в филогенезе помогает понять осуществление реформы в математическом образовании и становление математического образования 21 века?
3. Культурно-историческая концепция Л.С. Выготского и ее влияние на проектирование математического образования.
Содержательный смысл концепции Выготского состоит в определенной связи между филогенетическим интеллектуальным развитием социума и онтогенетическим интеллектуальным развитием личности.  В частности, по отношению к математическому развитию это означает соотнесение исторического развития математического знания с математическим развитием личности.
Концепция была понята так, что онтогенез интеллектуального развития личности должен дублировать филогенез интеллектуального развития социума. По отношению к математическому развитию это означало, что развитию математического знания в истории должно было отвечать математическое развитие личности по возрастной категории.
В связи с этим малыш уподоблялся древнему человеку, который только учился считать. По мере возрастного развития переходили от одного математического объекта к другому и такой переход определялся, как математическое развитие.
Такая ситуация возникла по следующим причинам:
1.Не было представлено системно математическое знание.
2. Математическая информация представлялась исключительно в символическом виде.
Понятно, что при таком подходе этап каждой возрастной группы рассматривался лишь, как подготовительный этап к последующей возрастной группе. Нарушалась целостность математического образования: в раннем развитии его практически не существовало.
На самом деле нужно было не дублировать филогенез в онтогенезе, а лишь соотносить их. В чем же разница? В том, что уже в раннем развитии ребенок должен осваивать системно основные объекты математического знания, но на познавательном уровне, который соответствует его возрастному развитию. В чем состояла соотнесение филогенеза с онтогенезом? В том, что социум не сразу вышел на сегодняшний символический уровень, а лишь на некотором этапе своего интеллектуального развития.
Рассматривая ребенка, как субъект культуры мы должны пропустить его через те же этапы развития, через которые проходил социум, но осваивать знание он должен самостоятельно.
Мы подошли к главной проблеме математического образования: каким образом осуществлялось интеллектуальное развитие социума?
4. Развитие математического знания и интеллектуальное развитие социума.
Развитие математического знания автор данной статьи достаточно подробно представил в своей книге «Альтернативный подход к математическому образованию». В данном месте нет смысла повторять представленное. Отметим только, что поворотные пункты в развитии математического знания были представлены с помощью математических отношений.
Следует заметить, что об одном из этих поворотных пунктов – создании дифференциального и интегрального исчисления – написал Ф.Энгельс. Но он ошибся, указав, что вместе с этими исчислениями в математику вошла диалектика. Этого просто не могло произойти, поскольку в фундамент математического знания была заложена формальная логика, которая несовместима с диалектикой.
По мере развития математического знания, готовые логические продукты проникали в содержание математического образования. Посредством процесса обучения математике эти продукты передавались от поколения к поколению.
Заминка с такой передачей произошла только с множественной математикой, которая возникла и развивалась в 20 веке. Было непонятно: как передать в школьное математическое образование такие области математики, как:: линейная алгебра, топология, функциональный анализ?
Причина такой заминки была понятна: математическая информация представлялась только на символическом уровне, а представление на таком уровне указанных областей знания в школьном математическом образовании было невозможно.
Еще Ф.Энгельс сказал, что основу математики составляют пространственные материальные формы и количественные отношения между ними. Возникает вопрос: может быть и понятия современной математики тоже заложены.в пространственных материальных формах и количественных отношениях? Увидеть это можно лишь с помощью психологии математического образования.
Но психология математического образования разработана не была (основные разработки в этой области принадлежат автору). В результате возникла ситуация: математики не были знакомы с психологией, а педагоги и психологи оказались незнакомы с современной множественной математикой.
В связи с указанными причинами знакомство социума с современной математикой оказалось невозможным. Однако, понимая, что содержание школьного математического образования отстает от развития математического знания, было решено в середине прошлого века провести реформу математического образования.
Реформа состояла во введении (на символическом уровне!) языка теории множеств и математической логики. Именно так математики поняли содержательный смысл реформы.
Абстрагирование математического языка резко осложнило процесс изучения математики (в массовой школе!). Понятно, что реформа потерпела фиаско. Как результат такого провала, вернулись снова к количественному моделированию и числовой математике, которая имеет крайне слабые возможности в математическом моделировании.
Возникает интересный вопрос: каковы возможности современной математики в математическом образовании социума?
5.Возможности современной математики в математическом образовании.
С чего началась современная математика? С работ Г.Кантора по определению понятия «множество»? Формально именно так, но содержательно современная математика началась с того, что французскому математику М.Фреше понадобилось определить близость двух функций, а это можно было сделать только с помощью расстояния между двумя функциями.
Но как определить расстояние между двумя функциями? Мы знаем определение расстояние между двумя точками на плоскости, но это делается для дискретных координат двух точек. И М.Фреше решил перейти в том же расстоянии между двумя точками от дискретного к непрерывному. Другими словами, он совершил качественный переход от дискретного к непрерывному. В диалектике такой переход называется диалектическим отрицанием.
Затем Фреше нужно было увидеть, что это действительно расстояние. Он взял аксиомы расстояния и распространил их на множество функций. Что он сделал? Он проструктурировал множество функций, наделив его системой отношений, которая представляла аксиоматику расстояния.
Это был первый случай в развитии математического знания, в котором было проструктурировано множество функций. Перейдя от функций к произвольным объектам, математики проструктурировали произвольное множество, наделив его системой отношений, представляющих аксиомы расстояния. Так появилось метрическое пространство – база для функционального анализа.
Что мы во всем этом видим? Процесс структурирования, как наделение произвольного множества некоторой системой отношений. Поэтому главным в современной математике оказалось структурирование содержания.
Умение структурировать содержание любого объекта и представлять это содержание развивающейся структурой и означает сегодняшнее умение системно мыслить. Системность проявляется в том, что мы наблюдаем развитие структуры содержания, начиная с момента, когда структура определяется одним отношением.
Тогда мы приходим к единому математическому взгляду на мир, а точнее: на развитие природы и развитие мышления в единой логике. Если содержание нашего интеллекта является развивающейся структурой математических отношений, то мы видим структурные изменения содержания в любом объекте.
Что же получилось в математическом образовании самих математиков? Вместо формирования в них умений структурировать, им стали передвать посредством процесса обучения математике, уже готовые структуры: банаховы пространства, гильбертовы пространства, топологические пространства. Умение структурировать было вынесено за скобки математического образования.
Но современная математика вскрыла значительно большее: она показала те процессы, которыми продвигалось в развитии математическое знание. Понимание таких процессов крайне важно для понимания возможностей математического образования.
6. Основные процессы, связанные с математическим образованием.
Об этом автор также написал в уже вышеупомянутой книге. Поэтому кратко представим здесь указанные процессы. Они помогут нам понять: что и как мы должны развивать в математическом образовании.
1.Процесс измерения. Он состоит в том, что мы должны сформировать представление о мере, как логическом инструменте отражения однородности содержания. С чего это начинается? С разработки счет (двоичных, троичных, пятеричных), как технической реализации меры величины конечного количества.
В дальнейшем, развитие меры связано не просто с умением работать с числами, но с умением разрабатывать метрические шкалы, как инструменты отражения однородности. Мера, как логический инструмент, необходима всем, но не всем нужна именно количественная мера. Вместе с тем, именно количественная мера должна быть заложена в базовом содержании математического образования, как введение в меру.
Мы видим новую позицию математического образования. С одной стороны логический инструмент, необходимый каждому. С другой стороны, применимость самого инструмента определяется профессиональной спецификой специалиста.
2.Процесс координации. Он состоит в том, что мы должны сформировать представление об отношении, как логическом инструменте отражения связности содержания. С чего это начинается? С разработки средств координации количеств (двоичной, троичной, пятеричной), как технической реализации отношения величин конечных количеств.
В дальнейшем, развитие отношения связано не просто с умением работать с числовыми функциями, но с умением разрабатывать системы координат, как инструменты отражения связности. Отношение, как логический инструмент, необходима всем, но не всем нужно именно количественное отношение. Вместе с тем, именно количественное отношение должна быть заложена в базовом содержании математического образования, как введение в отношение.
3.Процесс анализа. Он состоит в том, что мы должны сформировать представление о переменной, как логическом инструменте отражения сложности содержания. С чего это начинается? С разработки средств отслеживания изменения величины количества (процесс удвоения, процесс утроения, процесс упятерения), как технической реализации переменной величины конечного количества.
В дальнейшем, развитие переменной связано не просто с умением работать с числовыми последовательностями, но с умением разрабатывать системы отслеживания, как инструменты отражения сложности. Переменная, как логический инструмент, необходима всем, но не всем нужно именно количественная переменная. Вместе с тем, именно количественная переменная должна быть заложена в базовом содержании математического образования, как введение в переменную.
4.Процесс структурирования. Он состоит в том, что мы должны сформировать представление о структуре, как логическом инструменте отражения иерархичности сложности содержания. С чего это начинается? С разработки средств структурирования колмчества (двоичная форма, троичная форма, пятеричная форма), как технической реализации структуры величины конечного количества.
В дальнейшем развитие структуры связано не просто с умением работать с математическими пространствами, но с умением разрабатывать системы структурирования, как инструменты отражения структурности. Структура, как логический инструмент, необходима всем, но не всем нужно именно количественная организация. Вместе с тем, именно количественная структура должна быть заложена в базовом содержании математического образования, как введение в структуру.
5.Процесс конструирования. Он состоит в том, что мы должны сформировать представление о программе, как логическом инструменте отражения конструктивности содержания. С чего это начинается? С разработки средств конструирования колмчества в заданную геометрическую форму (квадрат, прямоугльник, треугольник), как технической реализации конструирования величины конечного количества.
В дальнейшем, развитие программы связано не просто с умением работать с компьютерными программами, но с умением разрабатывать системы управления, как инструменты отражения конструктивности. Программа, как логический инструмент, необходима всем, но не всем нужно именно количественная программа. Вместе с тем, именно количественная программа должна быть заложена в базовом содержании математического образования, как введение в программу.
6.Процесс систематизации. Он состоит в том, что мы должны сформировать представление о системе, как логическом инструменте отражения развития структуры содержания. С чего это начинается? С разработки средств систематизации колмчества в логике развития числовой системы (двоичная система, троичная система, пятеричная система, как технической реализации систематизации величины конечного количества.
В дальнейшем развитие системы связано не просто с умением работать с системами счета, но с умением разрабатывать системы прогнозирования, как инструменты отражения системности. Система, как логический инструмент, необходима всем, но не всем нужно именно числовая система. Вместе с тем, именно числовая система должна быть заложена в базовом содержании математического образования, как введение в систему.
Теперь мы можем перейти к раскрытию особенностей математического образования 21 века.
7. Особенности математического образования 21 века.
Мы использовали средства математического моделирования, в основном, для развития технической индустрии. Поэтому все возможности количественного моделирования и числовой математики были использованы для развития механики и физики. Такое математическое образование можно назвать технологическим.
В настоящее время мы находимся в постиндустриальном обществе. Какие же особенности математического образования нужны этому обществу? По-видимому, мы забыли о развитии возможностей самого человека. В чем это заключается?
Начнем с замечания японского бизнесмена М.Ибука о том, что до возраста 3 лет происходит формирование мозговых клеток в теменной части коры головного мозга. Как известно, в нашем мозге работает лишь незначительный процент таких клеток. Почему? Потому что в этой возрастной категории не организован процесс математического образования, который стимултровал бы рост таких клеток. Такая постановка вопроса крайне актуальна сегодня, поскольку рост таких клеток связан с формированием и развитием интуиции.
Мы научили роботов распознавать образы (перцептроны), но забыли о том, что у малышей тоже есть перцепция (слуховая, вкусовая, обонятельная, тактильная, зрительная). Мы перегружаем зрительную перцепцию, не развивая остальные видовые формы. Это также становится задачей математического образования.
В возрасте от 3 до 6 лет мы не используем математическое образование для формирования навыков чтения-письма, музицирования, рисования. Это говорит о том, что мы ограничили математическое образование в этом возрасте лишь знакомством с натуральным числом и геометрическим телом.
Мы знаем о том, что детям от 6 до 12 лет нравятся играть в компьютерные игры. Однако мы не использовали эти игровые возможности для формирования профессиональных навыков будущих специалистов. А между тем, именно такие игровые средства помогут ребенку в выборе будущей профессии.
Наконец, мы не понимаем главной цели образования: научить каждого ребенка строить отношения с другими детьми именно посредством содержания образования.
Из сказанного выше отметим, что указанные проблемы не только не решались, но и не ставились. Почему? Потому что не была понятна роль современной математики в решении этих проблем.
Нужно также понять, что мы не сможем реализовать указанные положения пока не поднимем уровень педагогов и психологов до понимания возможностей современной математики. Нужно отметить, что это глобальная планетарная проблема, которая не может быть решена сиюминутными средствами, но начинать ее решать уже необходимо.



Понравилось? Поделитесь хорошей ссылкой в социальных сетях:



Новости
25 мая 2016
Тодосийчук, А. В. Науке нужны кадры и спрос на инновации

О финансировании науки

подробнее

06 мая 2016
Арест, Михаил. Проблемы математического образования 21 века

Вызовы нового времени и математика в школе

подробнее

26 апреля 2016
Ян Амос Коменский. Матетика, т. е. наука учения. Окончание

Окончание трактата Яна Амоса Коменского «Матетика»

подробнее

17 февраля 2016
Ян Амос Коменский. Матетика, т. е. наука учения

Деятельность учения сопровождает деятельность преподавания, и работе учителя соответствует работа учеников. Теоретически и практически это впервые показал Ян Амос Коменский, развивавший МАТЕТИКУ, науку учения, наряду с ДИДАКТИКОЙ, наукой преподавания.  
 
Трактат Коменского «Матетика, то есть наука учения» недавно был переведён на русский язык под редакцией академика РАН и РАО Алексея Львовича Семёнова.

подробнее

17 января 2016
И. М. Фейгенберг. Пути-дороги

Автобиографическая статья выдающегося психолога и педагога Иосифа Моисеевича Фейгенберга (1922-2016)

подробнее

Все новости

Подписка на новости сайта:



Читать в Яндекс.Ленте

Читать в Google Reader


Найдите нас в соцсетях
Facebook
ВКонтакте
Twitter